Новая страница - /services/novogod/6qJdcW2s/

Уровень 1+2

Билет № 1

1. Параллелограмм. Свойства параллелограмма.
2. (3) Найдите меньшее основание равнобокой трапеции, если высота, проведенная из конца меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых на 5 больше другого.
3. (25) В ромбе ABCD  биссектриса угла ABD проходит через середину стороны АD. Найдите углы ромба.

Билет № 2

1. Параллелограмм. Признаки параллелограмма.
2. (4) Диагональ делит угол прямоугольника в отношении 2:7. Найдите углы между диагоналями данного прямоугольника.
3. (2) В равнобедренной трапеции большее основание в два раза превосходит меньшее. Середина большего основания удалена от вершины тупого угла на расстояние, равное длине меньшего основания. Найдите углы трапеции.

Билет № 3

1. Прямоугольник. Свойства прямоугольника.
2.      (27) В четырехугольнике ABCD  ÐА+ÐВ=1800, АВ ║ CD. На сторонах ВС и AD отмечены точки М и К соответственно так, что ВМ=KD. Докажите, что точки М и К находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырехугольника.
3. (34) Найдите острый угол прямоугольной трапеции, у которой две стороны равны 1, а еще одна сторона равна 2 (рассмотрите все возможные случаи).

Билет № 4

1. Прямоугольник. Признаки прямоугольника.
2. (5) Диагонали ромба образуют с его  стороной углы, один из которых на 500 меньше другого. Найдите углы ромба.
3. (38) Окружность касается всех сторон равнобокой  трапеции. Докажите, что боковая сторона трапеции равна средней линии.

Билет № 5

1. Ромб. Свойства ромба.
2. (6) Углы, образованные при пересечении диагоналей прямоугольника, относятся как 2:7. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами данного прямоугольника.
3. (31) Две средние линии треугольника равны меду собой и взаимно перпендикулярны. Найдите градусные меры углов треугольника.

Билет № 6

1. Ромб. Признаки ромба.
2. (9) Диагональ АС делит прямоугольную трапецию АВСD (углы А и В – прямые) на два треугольника – прямоугольный и равносторонний. Найдите среднюю линию трапеции, если ее меньшее основание равно 12 см.
3. (1) Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника провели прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Чему равен периметр получившегося четырехугольника, если боковая сторона треугольника равна a?

Билет № 7

1. Параллелограмм Вариньона и его свойства.
2. (1) Биссектриса угла параллелограмма делит сторону параллелограмма на отрезки, равные а и b. Найдите стороны параллелограмма.
3. (8) Из вершины тупого угла равнобокой трапеции ABCD проведен перпендикуляр СЕ к прямой AD, содержащей большее основание. Докажите, что АЕ=1/2(AD+BC).

Билет № 8

1. Теорема Фалеса.
2. (2) Диагонали прямоугольника равны 8 и пересекаются под углом в 600. Найдите меньшую сторону прямоугольника.
3. (45) Дана равнобедренная трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне KL как на диаметре, второй раз пересекает большее основание KN в точке H, точка Q — середина MN. Докажите, что четырёхугольник NQOH — параллелограмм.

Билет № 9

1. Теорема о средней линии треугольника.
2. (7) Сторона ромба образует с его диагоналями углы, один из которых в 4 раза больше другого. Найдите углы ромба.
3. (22) В прямоугольной трапеции острый угол и угол, который составляет меньшая диагональ с меньшим основанием, равны по 600. Найдите отношение оснований.

Билет № 10

1. Трапеция. Теорема о средней линии трапеции.
2. (8) В треугольнике МРК угол М – прямой и МР=МК. На сторонах МР, РК, МК отмечены точки А, В, С соответственно так, что МАВС является квадратом, АС=а. Найдите РК.
3. (26) Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найдите углы ромба.

Билет № 11

1. Равнобокая трапеция и ее свойства.
2. (10) В треугольнике АВС с прямым углом В, АВ=ВС. На сторонах АВ и ВС взяты точки М и Р, а на стороне АС – точки К и Н так, что четырехугольник МРНК является квадратом, со стороной МР=а. Найдите АС.
3. (15) На сторонах ВС и AD  параллелограмма ABCD взяты точки М и К, АВ=ВМ=KD, ÐАМВ=300. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки АМ и СК.

Билет № 12

1. Признаки равнобокой трапеции.
2. (33) Докажите, что параллелограмм, у которого стороны равны и диагонали равны, является квадратом.
3. (42) Вершины М и N  равностороннего треугольника BMN лежат соответственно на сторонах AD и CD квадрата ABCD. Докажите, что  MN параллельно AC.

Билет № 13

1. Определение окружности. Свойства диаметра, перпендикулярного хорде. Обратное утверждение. Теорема об угле, опирающемся на диаметр. Обратная теорема.
2. (11) В равнобокой трапеции с острым углом 600 биссектриса этого угла делит меньшее основание, равное 16 см пополам. Найдите среднюю линию трапеции.
3. (41) Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Периметр параллелограмма равен 12, а разность периметров треугольников ВОС и СОD  равна 2. Найдите стороны параллелограмма.

Билет № 14

1. Определение касательной. Основное свойство касательной. Свойство отрезков касательных. Свойство описанного четырехугольника.
2. (12) По одну сторону от прямой а отмечены точки С и D. Середина отрезка CD отстоит от данной прямой на 12 см. Найдите расстояние от точек С и D до данной прямой, если точка С находится втрое дальше от прямой, чем точка D.
3. (29) Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, делит прямой угол в отношении 3:1. Найдите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.

Билет № 15

1. Свойство медиан треугольника. Признак равнобедренного треугольника по равенству медиан.
2. (31) Высоты параллелограмма, проведенные из вершины тупого угла, образуют угол 300 и равны соответственно 6 см и 10 см. Найдите стороны параллелограмма..
3. (39) Основания трапеции равны а и b (a>b). Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Билет № 16

1. Параллелограмм. Свойства параллелограмма.
2. (13) В равнобокой трапеции с тупым углом 1200 биссектриса этого угла делит большее основание, равное 16 см пополам. Найдите среднюю линию трапеции.
3. (37) Найдите стороны и углы параллелограмма, если его периметр равен 40 см, а высота параллелограмма и биссектриса его угла, проведенные из одной вершины, делят сторону параллелограмма на три равных отрезка.

Билет № 17

1. Параллелограмм. Признаки параллелограмма
2. (14) Полупериметр параллелограмма равен 26 см, а сумма двух сторон – 22 см. Найдите стороны параллелограмма.
3. (23) В прямоугольной трапеции диагональ перпендикулярна к боковой стороне, острый угол равен 450. Найдите отношение оснований

Билет № 18

1. Прямоугольник. Свойства прямоугольника.
2. (15) Угол между высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины, равен1250. Найдите углы параллелограмма.
3. (35) Может ли диагональ трапеции разделить пополам ее среднюю линию? (Ответ обоснуйте)

Билет № 19

1. Прямоугольник. Признаки прямоугольника.
2. (16) В ромбе МРНК диагонали пересекаются в точке О. На сторонах МК, КН, РН взяты точки А, В, С соответственно, АК=КВ=РС. Докажите, что ОА=ОВ, и найдите сумму углов РОС и МОА.
3. (36) Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 48, а средняя линия делится диагональю на два отрезка, равные 11 и 35. Найдите углы трапеции.

Билет № 20

1. Ромб. Свойства ромба.
2. (17) В прямоугольной трапеции острый угол равен 450. Меньшая боковая сторона и меньшее основание равны по 10 см. Найдите большее основание.
3. (16) Треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой AC. BB1 – медиана, M – точка пересечения медиан. Найдите отношение BM:AC.

Билет № 21

1. Ромб. Признаки ромба.
2. (18) В ромбе ABCD О – точка пересечения диагоналей, ОМ, ОК, ОЕ – перпендикуляры, опущенные на стороны АВ, ВС, CD соответственно. Докажите, что ОМ=ОК, и найдите сумму углов МОВ и СОЕ.
3. (28) Основание перпендикуляра, опущенного из вершины прямоугольника на его диагональ, делит ее в отношении 3:1. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до большей стороны, если диагональ равна 8 см.

Билет № 22

1. Теорема Фалеса.
2. (29) В четырехугольнике ABCD BD – диагональ. Углы ABD и CDB – равны, угол А равен углу С. Докажите, что ABCD – параллелограмм.
3. (14) Диагональ делит равнобокую трапецию на два равнобедренных треугольника. Найдите углы трапеции.

Билет № 23

1. Теорема о средней линии треугольника.
2. (20) В параллелограмме АВСD с острым углом А диагонали пересекаются в точке О. На отрезках АО и ОС взяты точки Р и К соответственно, ОР=OD, ОК=ОВ. Докажите, что четырехугольник PBKD является прямоугольником.
3. (20) В прямоугольнике МРКН О – точка пересечения диагоналей, РА и НВ – перпендикуляры, проведенные из вершин Р и Н к прямой МК. Известно, что МА=ОВ. Найдите угол РОМ.

Билет № 24

1. Параллелограмм Вариньона и его свойства.
2. (38) Докажите, что параллелограмм, у которого стороны равны и диагонали равны, является квадратом.
3. (24) В прямоугольнике ABCD  биссектриса угла А образует с диагональю BD углы, один из которых равен 1050. Найдите угол между диагоналями прямоугольника.

Билет № 25

1. Трапеция. Теорема о средней линии трапеции.
2. (28) В равнобедренной трапеции диагональ составляет с боковой стороной угол в 1200. Боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите углы трапеции.
3. (32) На сторонах квадрата ABCD от вершин В и D отложены равные отрезки ВК, ВМ, DN и DP. Докажите, что точки К, М, N и Р являются вершинами прямоугольника.

Билет № 26

1. Равнобокая трапеция и ее свойства.
2. (22) В трапеции ABCD ВС – меньшее основание. На отрезке AD взята точка Е так, что прямые ВЕ и СD параллельны и угол АВЕ равен 700, а угол ВЕА равен 500. Найдите углы трапеции.
3. (6) Через середину диагонали КМ прямоугольника KLMN перпендикулярно этой диагонали проведена прямая, пересекающая стороны KL и MN в точках А и В соответственно. Известно, что АВ=ВМ=6. Найдите наибольшую сторону прямоугольника.

Билет № 27

1. Признаки равнобокой трапеции.
2. (23) Диагональ равнобокой трапеции с основаниями 4 см и 10 см является биссектрисой тупого угла трапеции. Найдите периметр трапеции.
3. (33) На продолжении диагонали АС квадрата АВСD отложены равные отрезки АМ и CN (АÎМС, СÎАN). Докажите, что BNDM – ромб.

Билет № 28

1. Определение окружности. Свойства диаметра, перпендикулярного хорде. Обратное утверждение. Теорема об угле, опирающемся на диаметр. Обратная теорема.
2. (19) В прямоугольной трапеции острый угол равен 600. Большая боковая сторона и большее основание равны по 20 см. Найдите меньшее основание.
3. (17) Точки А и В принадлежат соответственно сторонам РЕ и ЕТ треугольника РЕТ. Прямая, проходящая через вершину Т вне треугольника, пересекает луч АВ в точке К, АР=КТ, АВ=ВК=1/2РТ. Докажите, что точка А является серединой отрезка РЕ.

Билет № 29

1. Определение касательной. Основное свойство касательной. Свойство отрезков касательных. Свойство описанного четырехугольника.
2. (21) В трапеции MHPK МК – большее основание. Прямые МН и РК пересекаются в точке Е, угол МЕК равен  800, а угол ЕНР – 400. Найдите углы трапеции.
3. (10) Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая, параллельная двум его сторонам. Докажите, что эта прямая проходит через середины двух других сторон параллелограмма.

Билет № 30

1. Свойство медиан треугольника. Признак равнобедренного треугольника по равенству медиан.
2. (39) Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересеклись на стороне ВС. Как относятся длины соседних сторон параллелограмма?
3. (13) На сторонах параллелограмма МРКН взяты точки А и В соответственно, МР=РВ=АК, ÐМРВ=600. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки ВМ и АН.

Билет № 31

1. Параллелограмм. Свойства параллелограмма.
2. (36) Диагональ равнобокой трапеции с основаниями 8 см и 5 см является биссектрисой острого угла трапеции. Найдите периметр трапеции.
3. (30) Найдите расстояние от центра ромба до его стороны, если угол ромба равен 300, а сторона равна 4.

Билет № 32

1. Параллелограмм. Признаки параллелограмма.
2. (24) В параллелограмме ABCD  биссектриса угла А делит сторону ВС на отрезки ВК и КС. Найдите периметр параллелограмма, если известно, что АВ=4 см и ВК в два раза меньше КС.
3. (12) Три стороны трапеции равны между собой, а ее диагональ равна одному из оснований. Найдите углы трапеции

Билет № 33

1. Прямоугольник. Свойства прямоугольника.
2. (44) Диагональ равнобокой трапеции равна 10 см и образует угол, равный 600, с основанием трапеции. Найдите среднюю линию трапеции.
3. (7) В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Большая  диагональ составляет с меньшей боковой стороной угол в 600. Докажите, что меньшая диагональ равна полусумме оснований трапеции.

Билет № 34

1. Прямоугольник. Признаки прямоугольника.
2. (25) В параллелограмме ABCD ВК – биссектриса угла AВС, КÎАD. Найдите углы параллелограмма ABCD , если угол ВКА равен 500.
3. (18) Точки М и К являются соответственно серединами сторон АВ и ВС треугольника АВС. Через вершину С вне треугольника проведена прямая, параллельная АВ и пересекающая луч МК в точке Е. Докажите, что КЕ=1/2АС.

Билет № 35

1. Ромб. Свойства ромба.
2. (32) Докажите, что параллелограмм, у которого углы равны, а диагонали перпендикулярны является квадратом.
3. (19) В прямоугольнике АВСD О – точка пересечения диагоналей, ВН и DE – высоты треугольников АВО и CОD соответственно, ÐВОН=600, АН=5 см. Найдите ОЕ.

Билет № 36

1. Ромб. Признаки ромба.
2. (35) Основания прямоугольной трапеции равны 8 и 6см, а один из углов равен 450. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.
3. (44) Треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой AC. BB1 – медиана, M – точка пересечения медиан. Найдите отношение BM:AC.

Билет № 37

1. Теорема Фалеса.
2. (30) В треугольнике АВС точка Е – середина стороны АВ. ÐВ=580, ÐC=320, EF^АВ (тока F лежит на стороне ВС). Докажите, что BF=FC.
3. (9) Из вершины прямого угла меньшего основания прямоугольной трапеции под углом 450 к этому основанию проведен луч, который проходит через середину большей боковой стороны. Докажите, что меньшая боковая сторона этой трапеции равна сумме оснований.

Билет № 38

1. Теорема о средней линии треугольника.
2. (26) В четырехугольнике МРКН углы РМК и НКМ равны и  РК║МН. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, пересекающая стороны РК и МН в точках А и В соответственно. Докажите, что АР=НВ.
3. (27) Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, делит прямой угол в отношении 3:1. Найдите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.

Билет № 39

1. Параллелограмм Вариньона и его свойства.
2. (43) В равнобокой трапеции острый угол равен 600. Докажите, что меньшее основание равно разности большего основания и боковой стороны.
3. (3) В параллелограмме ABCD на сторонах AD и ВС взяты точки К и Е соответственно так, что ÐКВЕ=900 и отрезок ЕК проходит через точку О пересечения диагоналей. Докажите, что ВО=ОЕ.

Билет № 40

1. Трапеция. Теорема о средней линии трапеции.
2. (42) Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна отрезку, соединяющему середины катетов.
3. (4) Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит ее среднюю линию пополам..

Билет № 41

1. Равнобокая трапеция и ее свойства.
2. (34) В треугольнике АВС точка Е – середина стороны СВ. ÐА=ÐЕDB (точка D лежит на стороне АВ). Докажите, что AD=DB.
3. (5) В параллелограмме ABCD через точку О – пересечения диагоналей – проведена прямая, пересекающая стороны ВС и AD в точках К и Е соответственно, ВО=ОЕ. Найдите угол КВЕ.

Билет № 42

1. Признаки равнобокой трапеции.
2. (45) Стороны треугольника относятся как 7:8:11. Периметр треугольника, образованного средними линиями данного треугольника, равен 52 см. Найдите стороны данного треугольника.
3. (21) Биссектрисы двух углов прямоугольника делят его сторону на части, каждая из которых равна 3 см. Найдите периметр прямоугольника. Сколько решений имеет задача?

Билет № 43

1. Определение окружности. Свойства диаметра, перпендикулярного хорде. Обратное утверждение. Теорема об угле, опирающемся на диаметр. Обратная теорема.
2. (40) Высота параллелограмма, проведенная из вершины тупого угла, равна 3 см и делит сторону параллелограмма пополам. Острый угол параллелограмма равен 300. Найдите диагональ, проведенную из вершины тупого угла, и углы, которые она образует со сторонами.
3. (11) Докажите, что прямая, проходящая через средины противолежащих сторон параллелограмма, проходит через точку пересечения его диагоналей.

Билет № 44

1. Определение касательной. Основное свойство касательной. Свойство отрезков касательных. Свойство описанного четырехугольника.
2. (41) Дан четырехугольник, сумма диагоналей которого  равна 18 см. Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.
3. (43) Окружность касается всех сторон трапеции. Докажите,  что средняя линия трапеции равна полусумме  боковых сторон.

Билет № 45

1. Свойство медиан треугольника. Признак равнобедренного треугольника по равенству медиан.
2. (37)  В ромбе ABCD биссектриса угла DCA перпендикулярна стороне AD. Найдите углы ромба.
3. (17) Точки А и В принадлежат соответственно сторонам РЕ и ЕТ треугольника РЕТ. Прямая, проходящая через вершину Т вне треугольника, пересекает луч АВ в точке К, АР=КТ, АВ=ВК=1/2РТ. Докажите, что точка А является серединой отрезка РЕ..

Уровень 2+3

Билет № 1

1. Параллелограмм. Свойства параллелограмма.
2. (36) Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 48, а средняя линия делится диагональю на два отрезка, равные 11 и 35. Найдите углы трапеции.
3. (26) В прямоугольном треугольнике катеты равны a и b, а гипотенуза равна c. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.

Билет № 2

1. Параллелограмм. Признаки параллелограмма.
2. (22) В прямоугольной трапеции острый угол и угол, который составляет меньшая диагональ с меньшим основанием, равны по 60. Найдите отношение оснований.
3. (27) Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды. Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной и той же точке.

Билет № 3

1. Прямоугольник. Свойства прямоугольника.
2. (31) Две средние линии треугольника равны между собой и взаимно перпендикулярны. Найдите градусные меры углов треугольника.
3. (32) Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается большей боковой стороны и продолжений оснований. Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне трапеции.

Билет № 4

1. Прямоугольник. Признаки прямоугольника.
2. (38) Окружность касается всех сторон равнобокой трапеции. Докажите, что боковая сторона трапеции равна средней линии.
3. (30) Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем радиус одной из них в 2 раза больше радиуса другой. Из точки A проведены два луча, пересекающих меньшую окружность в точках K и L, а большую в точках B и C. Докажите, что KL и BC параллельны.

Билет № 5

1. Ромб. Свойства ромба.
2. (16) На каждой стороне квадрата взяли по одной точке. При этом оказалось, что эти точки являются вершинами прямоугольника, стороны которого параллельны диагоналям квадрата. Найдите периметр прямоугольника, если диагональ квадрата равна 6 см.
3. (9) Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

Билет № 6

1. Ромб. Признаки ромба.
2. (28) Основание перпендикуляра, опущенного из вершины прямоугольника на его диа- гональ, делит ее в отношении 3:1. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до большей стороны, если диагональ равна 8 см.
3. (7) Сторона треугольника равна а. Найдите отрезок, соединяющий середины медиан, проведенных к двум другим сторонам.

Билет № 7

1. Теорема о средней линии треугольника.
2. (19) В прямоугольнике ABCD точка O — точка пересечения диагоналей, BH и DE — высоты треугольников ABO и COD соответственно, BOH = 60, AH = 5 см. Найдите OE.
3. (22) Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно тра-пеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

Билет № 8

1. Параллелограмм Вариньона и его свойства.
2. (40) Окружность касается всех сторон трапеции. Докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме боковых сторон.
3. (6) Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки основания равнобедрен- ного треугольника до боковых сторон постоянна.

Билет № 9

1. Трапеция. Теорема о средней линии трапеции.
2. (15) На сторонах BC и AD параллелограмма ABCD взяты точки M и K, AMB = 30, AB = BM = KD. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки AM и CK.
3. (21) В трапеции ABCD с основаниями BC и AD углы ABD и ACD прямые. Докажите, что AB = CD.

Билет № 10

1. Равнобокая трапеция и ее свойства.
2. (26) Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найдите углы ромба.
3. (16) В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C точки M и N — середины катетов AC и BC соответственно, CH — высота. Докажите, что прямые MH и NH перпендикулярны.

Билет № 11

1. Признаки равнобокой трапеции.
2. (11) Докажите, что прямая, проходящая через средины противолежащих сторон параллелограмма, проходит через точку пересечения его диагоналей.
3. (8) Докажите, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке (теорема об ортоцентре).

Билет № 12

1. Определение окружности. Свойства хорд и диаметров
2. (39) Основания трапеции равны a и b (a < b). Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.
3. (5) Стороны параллелограмма а и b. Найдите, диагонали четырехугольника, образо- ванного точками попарного пересечения биссектрис внешних углов четырехугольника.

Билет № 13

1. Определение касательной. Основное свойство касательной. Свойство отрезков касательных. Свойство описанного четырехугольника.
2. (18) Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC  в точке K. При этом AK  :  KC  = 1 : 2. Докажите, что BAC = 30.
3. (13) Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Докажите, что отрезки LN и KM, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.

Билет № 14

1. Свойства медиан треугольника. Признак равнобедренного треугольника по равенству медиан.
2. (35) Может ли диагональ трапеции разделить пополам ее среднюю линию? (Ответ обоснуйте)
3. (25) Две окружности касаются каждой из двух параллельных прямых. Докажите, что линия центров окружностей параллельная этим прямым.

Билет № 15

1. Параллелограмм. Свойства параллелограмма.
2. (9) Из вершины прямого угла меньшего основания прямоугольной трапеции под углом  45 к этому основанию проведен луч, который проходит через середину большей боковой стороны. Докажите, что меньшая боковая сторона этой трапеции равна сумме оснований.
3. (28) Первая окружность с центром O, вписана в треугольник KLM . Вторая окружность с центром O1 касается стороны ML и продолжений двух других сторон. Докажите, что треугольник OLO1 прямоугольный.

Билет № 16

1. Параллелограмм. Признаки параллелограмма.
2. (21) Биссектрисы двух углов прямоугольника делят его сторону на части, каждая из которых равна 3 см. Найдите периметр прямоугольника. Сколько решений имеет задача?
3. (12) В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120 при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E на отрезке AB. Докажите, что FH = 2DH.

Билет № 17

1. Прямоугольник. Свойства прямоугольника.
2. (23) В прямоугольной трапеции диагональ перпендикулярна к боковой стороне, острый угол равен 45. Найдите отношение оснований.
3. (25) Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна  CM  и  пересекает  катет  AC  в  точке  K. При  этом  AK :  KC = 1 : 2. Докажите, что BAC = 30

Билет № 18

1. Прямоугольник. Признаки прямоугольника.
2. (14) Диагональ делит равнобокую трапецию на два равнобедренных треугольника. Найдите углы трапеции.
3. (24) К окружности, вписанной в прямоугольник ABCD, проведена касательная, пе- ресекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно. Докажите, что периметр треугольника AMN равен одной из сторон прямоугольника.

Билет № 19

1. Ромб. Свойства ромба.
2. (13) На сторонах PK и MH параллелограмма MPKH взяты точки A и B соответственно, MPB = 60, MP = PB = AK. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки BM и AH.
3. (11) На сторонах AC и BC треугольника ABC  вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB. Докажите, что CM = ½ DK.

Билет № 20

1. Ромб. Признаки ромба.
2. (8) Из вершины тупого угла равнобокой трапеции ABCD проведен перпендикуляр к прямой AD, содержащей большее основание. Докажите, что AE = ½ (AD + BC).
3. (20) Дана равнобедренная трапеция, в которой AD = 3BC, CM — высота трапеции. Доказать, что M делит AD в отношении 2 : 1.

Билет № 21

1. Теорема о средней линии треугольника.
2. (37) Найдите стороны и углы параллелограмма, если его периметр равен 40  см,  а  высота параллелограмма и биссектриса его угла, проведенные из одной вершины, делят сторону параллелограмма на три равных отрезка.
3. (15) Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны. Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD, пересекаются на стороне AD.

Билет № 22

1. Параллелограмм Вариньона и его свойства.
2. (25) В ромбе ABCD биссектриса угла ABD проходит через середину стороны АD. Найдите углы ромба.
3. (29) Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке K. К этой окружности проведена касательная, пересекающая стороны AC и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что угол MOC равен углу NOK.

Билет № 23

1. Трапеция. Теорема о средней линии трапеции.
2. (44) На сторонах AC и BC остроугольного треугольника ABC вне его построены квадраты ACDE и CBFG. Докажите, что BD=AG.
3. (14) Прямая, проходящая через вершину В, прямоугольника ABCD, перпендикулярная диагонали АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной вершин В и D. Докажите, что BM и ВD делят угол В на три равных угла.

Билет № 24

1. Равнобокая трапеция и ее свойства.
2. (24) В прямоугольнике ABCD биссектриса угла А образует с диагональю BD углы, один из которых равен 105. Найдите угол между диагоналями прямоугольника.
3. (19) Известно, что АBCD трапеция, АD = 2BC, AD, BC — основания. Точка M такова, что углы АBM и MCD прямые. Доказать, что MA = MD.

Билет № 25

1. Признаки равнобокой трапеции.
2. (18) Точки М и К являются соответственно серединами сторон АВ и ВС треугольника АВС. Через вершину С вне треугольника проведена прямая, параллельная АВ и пересекающая луч МК в точке Е. Докажите, что KE = 0.5 AC.
3. 3. (23) Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T. Докажите, что прямые KT и DE параллельны.

Билет № 26

1. Определение окружности. Свойства хорд и диаметров
2. (30) Найдите расстояние от центра ромба до его стороны, если угол ромба равен  30, а сторона равна 4.
3. (2) Докажите, что в равнобокой трапеции высота равна средней линии тогда и только тогда, когда диагонали трапеции взаимно перпендикулярны.

Билет № 27

1. Определение касательной. Основное свойство касательной. Свойство отрезков касательных. Свойство описанного четырехугольника.
2. (17) Точки А и В принадлежат соответственно сторонам РЕ и ЕТ треугольника РЕТ. Прямая, проходящая через вершину Т вне треугольника, пересекает луч АВ в точке К, AP = KT, AB = BK = ½ PT. Докажите, что точка А является серединой отрезка РЕ.
3. (31) На сторонах AC и BC остроугольного треугольника ABC вне его построены квадраты ACDE и CBFG. Точка M— середина стороны AB. Докажите, что точка M равноудалена от центров квадратов.

Билет № 28

1. Свойства медиан треугольника. Признак равнобедренного треугольника по равенству медиан.
2. (27) Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на  его  диагональ,  делит прямой угол в отношении 3:1. Найдите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.
3. (10) На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD. Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

Билет № 29

1. Трапеция. Теорема о средней линии трапеции.
2. (6) В ромбе ABCD угол В тупой. На стороне AD взята точка К, BK   AD. Прямые ВК и АС пересекаются в точке О, AC = 2BK. Найдите угол АОВ.
3. (1) Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника делит его сторону на части, одна из которых в два раза больше другой. На какие части диагональ прямоугольника делит его угол?

Билет № 30

1. Теорема о средней линии треугольника.
2. (42) Вершины М и N равностороннего треугольника BMN лежат соответственно на сторонах AD и CD квадрата ABCD. Докажите, что MN параллельно AC.
3. (3) Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами еще одного квадрата.

Билет № 31

1. Определение окружности. Свойства хорд и диаметров
2. (33) В равнобедренной трапеции большее основание в два раза превосходит меньшее. Середина большего основания удалена от вершины тупого угла на расстояние, равное длине меньшего основания. Найдите углы трапеции.
3. (17) На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отмечена точка D так, что AD = AB. Прямая, проходящая через точку А, параллельно BD, пересекает сторону ВС в точке M. Докажите, что AM биссектриса треугольника АВС.

Билет № 32

1. Признаки равнобокой трапеции
2. (29) Через середину диагонали КМ прямоугольника KLMN перпендикулярно этой диагонали проведена прямая, пересекающая стороны KL и MN в точках А и В соответственно. Известно, что АВ=ВМ=6. Найдите наибольшую сторону прямоугольника.
3. (4) Докажите, что точки попарного пересечения биссектрис всех четырех углов параллелограмма являются вершинами прямоугольника. Найдите длины диагоналей этого прямоугольника, если а и b длины сторон параллелограмма.
Фильтры
Цена,
Количество
Склад
Notice: Undefined variable: colors in /home/i/itkbma0a/kbma.ru/public_html/core/templates/home/mp-menu.php on line 84 Notice: Undefined variable: materials in /home/i/itkbma0a/kbma.ru/public_html/core/templates/home/mp-menu.php on line 111 Notice: Undefined variable: branding in /home/i/itkbma0a/kbma.ru/public_html/core/templates/home/mp-menu.php on line 125